《概率论》复习笔记

1. 随机事件和概率

1.1 全概率公式

设事件 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 两两互不相容，$P(A_i)>0(i=1,2,\cdots,n)$，且$\sum\limits_{i=1}^{n}{A_i}=\Omega$， 则对任一事件$B$，有 $$ P(B)=\sum_{i=1}^{n}{P(A_i)\cdot P{(B|A_i)}}. $$ 满足公式中的$A_1,A_2,\cdots,A_n$ 叫完备事件组。

1.2 贝叶斯公式

设事件 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 构成完备事件组，则对任一事件 $B(P(B)>0)$，有 $$ P(A_k|B)=\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n}{P(A_i)P(B|A_i)}} { (k=1,2,\cdots,n)}. $$

1.3 伯努利概型

若实验$E$ 只有两种可能的结果：$A$ 及$\overline{A}$，记$P(A)=p,P(\overline{A})=1-p=q$，这种实验称为伯努利(Bernoulli)实验。 若将实验$E$ 重复$n$ 次，且每次实验结果互不影响（相互独立），则称为 n重伯努利实验。

设每次实验中，事件$A$发生的概率为$p(0<p<1)$，则在 $n$ 次 重复独立实验中，$A$ 发生$k$次的概率为: $$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n. $$

2. 随机变量及其分布

设实验$E$的样本空间为$\Omega$，如果对每一个样本点$\omega\in\Omega$，都有唯一实数 $X(\omega)$与之对应，称$X=X(\omega)$为样本空间$\Omega$上的随机变量。 对于随机变量，一般分两类进行讨论，如果随机变量的取值只有有限个活无限可列个数值，则称这种随机变量为离散型随机变量。其余的统称为非离散型随机变量，在非离散型随机变量中，最重要的是连续型随机变量。

2.1 离散型随机变量及其分布

超几何分布

一般来说，在总共$N$ 件产品中，其中有$M$件次品，先从中任取$n$件（不放回地抽取），则这$n$件中所含的次品数$X$是一个离散随机变量，其概率分布为： $$ P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,2,\cdots,l $$ 其中$l=min(M,n)$。通常称这个概率分布为超几何分布。

两点分布

在一次伯努利实验中， 只有两个可能的结果，$A$或者$\overline{A}$，并且$P(A)=p,P((\overline{A}))=q=1-p$，若以$X$记事件$A$出现的次数，则$X$的分布列为: $$ \begin{array}{c|cc} X & 0 & 1 \\ \hline P & q & p \\ \end{array} $$ 即，$P(X=k)=p^kq^{1-k},k=0,1$，称$X$服从两点分布。

二项分布

在$n$重伯努利实验中，若事件$A$出现的次数记为$X$，则随机变量$X$可能的取值是$0,1,2,\cdots,n$,相应概率分布为 $$ P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n. $$ 式中$0<p<1,q=1-p$。称$X$服从参数为$n，p$ 的二项分布，记作$X\sim B(n,p)$。$(n+1)p$称为二项分布$B(n,p)$ 的最可能出现次数。

泊松定理

设随即变量$X_n(n=1,2,\cdots,n)$服从参数$n,p_n$的二项分布，若$\mathop{lim}\limits_{n\to\infty}np_n=\lambda$，则有 $$ \lim_{n\to\infty}P(X_n=k)=\frac{\lambda ^ k}{k!}e^{-\lambda} $$ 根据泊松定理，当$n$较大而$p$较小是，有如下近似公式成立: $$ C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\approx\frac{\lambda ^ k}{k!}e^{-\lambda},\lambda=np. $$

在实际应用中，当$n>10,p<0.1$时，可以用上式近似计算二项分布的概率。

泊松分布

如果随即变量X的概率分布为 $$ P(X_n=k)=\frac{\lambda ^ k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots . $$ 式中$\lambda>0$是常数，则称$X$服从以$\lambda$为参数的泊松分布，记作$X\sim P(\lambda)$。